Модель Лотки — Вольтерры

Размер популяции хищников и жертв как функция от времени в модели Лотки — Вольтерры

Моде́ль Ло́тки — Вольте́рры (модель Ло́тки — Вольтерра́) — модель взаимодействия двух видов типа «хищник — жертва», названная в честь её авторов (Лотка, 1925; Вольтерра 1926), которые предложили модельные уравнения независимо друг от друга.

Такие уравнения можно использовать для моделирования систем «хищник — жертва», «паразит — хозяин», конкуренции и других видов взаимодействия между двумя видами.

В математической форме предложенная система имеет следующий вид:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=(\alpha -\beta y)x}$,

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=(-\gamma +\delta x)y}$,

где ${\displaystyle x}$ — количество жертв, ${\displaystyle y}$ — количество хищников, ${\displaystyle t}$ — время, ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$ — коэффициенты, отражающие взаимодействия между видами.

Решение системы уравнений

Постановка задачи

Рассматривается закрытый ареал, в котором обитают два вида — травоядные («жертвы») и хищники. Предполагается, что животные не иммигрируют и не эмигрируют, и что еды для травоядных животных имеется с избытком. Тогда уравнение изменения количества жертв (без учёта хищников) принимает вид:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\alpha x}$,

где ${\displaystyle \alpha }$ — коэффициент рождаемости жертв, ${\displaystyle x}$ — величина популяции жертв, ${\displaystyle {\tfrac {dx}{dt}}}$ — скорость прироста популяции жертв.

Пока хищники не охотятся, они вымирают, следовательно, уравнение для численности хищников (без учёта численности жертв) принимает вид:

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-\gamma y}$,

где ${\displaystyle \gamma }$ — коэффициент убыли хищников, ${\displaystyle y}$ — величина популяции хищников, ${\displaystyle {\tfrac {dy}{dt}}}$ — скорость прироста популяции хищников.

При встречах хищников и жертв (частота которых прямо пропорциональна величине ${\displaystyle xy}$) происходит убийство жертв с коэффициентом ${\displaystyle \beta }$, сытые хищники способны к воспроизводству с коэффициентом ${\displaystyle \delta }$. С учётом этого, система уравнений модели такова:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {dx}{dt}}=\alpha x-\beta xy=(\alpha -\beta y)x\\{\dfrac {dy}{dt}}=-\gamma y+\delta xy=(\delta x-\gamma )y\end{cases}}}$.

Решение задачи

Нахождение стационарной позиции системы

Для стационарной позиции ${\displaystyle {\bar {x}}>0,{\bar {y}}>0}$ изменение численности популяции равно нулю. Следовательно:

${\displaystyle \alpha {\bar {x}}-\beta {\bar {x}}{\bar {y}}=0}$,

${\displaystyle -\gamma {\bar {y}}+\delta {\bar {x}}{\bar {y}}=0}$,

из чего следует, что стационарная точка системы, вокруг которой происходят колебания, определяется следующим образом:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\gamma }{\delta }}}$,

${\displaystyle {\bar {y}}={\frac {\alpha }{\beta }}}$.

Задание отклонения в системе

При внесении в систему колебаний ${\displaystyle {\tilde {x}}\ll {\bar {x}}}$ и ${\displaystyle {\tilde {y}}\ll {\bar {y}}}$, из-за малой их величины их квадратами, кубами и последующими степенями (${\displaystyle {\tilde {x}}^{n}}$) можно пренебречь. Таким образом, популяции ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ с малыми отклонениями описываются следующими выражениями:

${\displaystyle x={\bar {x}}+{\tilde {x}}}$,

${\displaystyle y={\bar {y}}+{\tilde {y}}}$.

Применяя их к уравнениям модели, следует:

${\displaystyle {\frac {d{\tilde {x}}}{dt}}=-{\frac {\beta \gamma }{\delta }}{\tilde {y}}}$

${\displaystyle {\frac {d{\tilde {y}}}{dt}}={\frac {\delta \alpha }{\beta }}{\tilde {x}}}$

Дифференцирование одного из этих уравнений и подстановка в другое даёт следующий результат:

${\displaystyle {\frac {d^{2}{\tilde {x}}}{dt^{2}}}=-{\frac {\beta \gamma }{\delta }}{\frac {\delta \alpha }{\beta }}{\tilde {x}}=-\alpha \gamma {\tilde {x}}}$,

${\displaystyle {\frac {d^{2}{\tilde {x}}}{dt^{2}}}+\alpha \gamma {\tilde {x}}=0}$.

Полученное выражение является пропорциональным уравнением гармонического осциллятора с периодом ${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\sqrt {\alpha \gamma }}}}$.

См. также

• Моделирование биологических систем
• Закон Клайбера

Ссылки

• Популяционная динамика
• Простейшая модель «хищник-жертва»