Спектральная плотность мощности

Спектра́льная пло́тность мо́щности (СПМ) в физике и обработке сигналов — функция, описывающая распределение мощности сигнала в зависимости от частоты, то есть мощность, приходящаяся на единичный интервал частоты. Имеет размерность мощности, делённой на частоту, то есть энергии. Например, в Международной системе единиц (СИ): Вт/Гц = Вт/с⁻¹ = Вт·с.

Часто термин применяется при описании спектральной мощности потоков электромагнитного излучения или других колебаний в сплошной среде, например, акустических. В этом случае подразумевается мощность на единицу частоты на единицу площади, например: Вт·Гц^-1·м^-2 (формально можно заменить на Дж·м^-2, но тогда физическое содержание величины становится менее наглядным).

Формальное определение

Пусть ${\displaystyle x(t)}$ — сигнал, рассматриваемый на промежутке времени ${\displaystyle \left[-{\frac {T}{2}},{\frac {T}{2}}\right]}$. Тогда энергия сигнала на данном интервале равна:

${\displaystyle E_{T}=\int \limits _{-T/2}^{T/2}x^{2}(t)\,\mathrm {d} t}$.

В соответствии с теоремой Парсеваля ${\displaystyle E_{T}}$ представима в виде:

${\displaystyle E_{T}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }|F_{T}(\omega )|^{2}\,\mathrm {d} \omega }$,

где ${\displaystyle F_{T}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}x(t)e^{-i\omega t}\,dt}$ — преобразование Фурье от ${\displaystyle x(t)}$.

При ${\displaystyle T\to +\infty }$, средняя мощность имеет вид:

${\displaystyle W=\lim _{T\to +\infty }{\frac {E_{T}}{T}}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\lim _{T\to +\infty }{\frac {|F_{T}(\omega )|^{2}}{T}}\,\mathrm {d} \omega }$.

${\displaystyle S(\omega )=\lim _{T\to +\infty }{\frac {|F_{T}(\omega )|^{2}}{T}}}$ — спектральная плотность мощности (функция плотности спектра мощности) или энергетический спектр сигнала.

Спектральная плотность мощности сигнала сохраняет информацию только об амплитудах спектральных составляющих. Информация о фазе теряется. Поэтому все сигналы с одинаковым спектром амплитуд и различными спектрами фаз имеют одинаковые спектральные плотности мощности.

Методы оценки

Оценка СПМ может выполняться методом преобразования Фурье, предполагающего получение спектра в области частот посредством быстрого преобразования Фурье (БПФ). До изобретения алгоритмов БПФ этот метод из-за трудоёмкости прямого вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ) практически не использовался. Предпочтение отдавалось другим методам, в частности, методу корреляционной функции (Блэкмена — Тьюки) и периодограммному методу. Также используется коррелограммный метод.

См. также

• Спектральная плотность
• Случайный процесс
• Спектр
• Преобразование Фурье
• Амплитудно-частотная характеристика
• Спектральная плотность излучения
• Периодограмма

Литература

• Гольденберг Л. М., Матюшкин Б. Д., Поляк М. Н. Цифровая обработка сигналов: Справочник. — М.: Радио и связь, 1985.
• Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы. — М.: Мир, 1982.
• Прокис Дж. Цифровая связь = Digital Communications / Кловский Д. Д.. — М.: Радио и связь, 2000. — С. 62-63. — 800 с. — ISBN 5-256-01434-X.